放物線と直線の交点の座標を求めます。座標は $(x, y)$ の形式で答え、複数の解答がある場合は「,」で区切って続けて入力します。

1. 問題の内容

放物線と直線の交点の座標を求めます。座標は $(x, y)$ の形式で答え、複数の解答がある場合は「,」で区切って続けて入力します。

2. 解き方の手順

まず、放物線の式を求めます。放物線は $x$ 軸との交点が $(-4, 0)$ と $(2, 0)$ の中間にある $x = -1$ を軸に持つ上に凸の放物線です。

頂点は原点なので、放物線の式は $y = a(x+4)(x-2)$ と表すことができます。原点を通るので、$x=0, y=0$を代入すると、$0 = a(4)(-2)$ となり、$a$ が何であってもこの条件を満たします。

放物線は頂点が原点に来ているため、頂点の座標は$(x,y) = (-1, k)$とおくことができ、

$y = a(x+1)^2 + k$と表せます。

$(-4, -4)$と$(2, -4)$を通る放物線を考えます。

$y = a(x+1)^2$と置いて、$x=-4, y=-4$を代入すると、

$-4 = a(-4+1)^2 = 9a$

$a = -\frac{4}{9}$

放物線の方程式は

$y = -\frac{4}{9}(x+1)^2$

となります。

次に、直線の式を求めます。直線は点 $(-4, -4)$ と原点 $(0, 0)$ を通るので、傾きは $\frac{0 - (-4)}{0 - (-4)} = \frac{4}{4} = 1$ です。したがって、直線の式は $y = x$ となります。

交点を求めるために、放物線と直線の式を連立させます。

$y = -\frac{4}{9}(x+1)^2$

$y = x$

これらを連立させて、$x = -\frac{4}{9}(x+1)^2$ を得ます。

$9x = -4(x^2 + 2x + 1)$

$9x = -4x^2 - 8x - 4$

$4x^2 + 17x + 4 = 0$

$(4x + 1)(x + 4) = 0$

したがって、$x = -4$ または $x = -\frac{1}{4}$ です。

$x = -4$ のとき、$y = -4$ です。

$x = -\frac{1}{4}$ のとき、$y = -\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(-4,-4),(-1/4,-1/4)