SENSEI AI
About App

与えられた7つの式を展開し、整理してください。 (1) $(a-b+c)^2$ (2) $(2x-y-2z)^2$ (3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$ (4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$ (5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ (6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$ (7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

代数学式の展開多項式因数分解
2025/5/6
## 数学の問題の解答
以下に、提示された数学の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた7つの式を展開し、整理してください。
(1) (a−b+c)2(a-b+c)^2
(2) (2x−y−2z)2(2x-y-2z)^2
(3) (a2−a+1)(a2−a−1)(a^2-a+1)(a^2-a-1)
(4) (x+y−3z)(x−y+3z)(x+y-3z)(x-y+3z)
(5) (a2−ab+2b2)(a2+ab+2b2)(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)
(6) (2a−5b−3)(2a−5b+2)(2a-5b-3)(2a-5b+2)
(7) (3x+3y−z)(x+y+z)(3x+3y-z)(x+y+z)

2. 解き方の手順

(1) (a−b+c)2(a-b+c)^2
これは、(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2BC+2CA(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CAという公式を利用して展開できます。
A=aA = a, B=−bB = -b, C=cC = c とすると、
(a−b+c)2=a2+(−b)2+c2+2(a)(−b)+2(−b)(c)+2(c)(a)=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca(a-b+c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2(a)(-b) + 2(-b)(c) + 2(c)(a) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca
(2) (2x−y−2z)2(2x-y-2z)^2
これも同様に、(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2BC+2CA(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CAの公式を利用します。
A=2xA = 2x, B=−yB = -y, C=−2zC = -2z とすると、
(2x−y−2z)2=(2x)2+(−y)2+(−2z)2+2(2x)(−y)+2(−y)(−2z)+2(−2z)(2x)=4x2+y2+4z2−4xy+4yz−8zx(2x-y-2z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-2z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-2z) + 2(-2z)(2x) = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx
(3) (a2−a+1)(a2−a−1)(a^2-a+1)(a^2-a-1)
A=a2−aA = a^2 - a と置くと、(A+1)(A−1)=A2−1(A+1)(A-1) = A^2 - 1 となります。
(a2−a+1)(a2−a−1)=(a2−a)2−1=(a4−2a3+a2)−1=a4−2a3+a2−1(a^2-a+1)(a^2-a-1) = (a^2-a)^2 - 1 = (a^4 - 2a^3 + a^2) - 1 = a^4 - 2a^3 + a^2 - 1
(4) (x+y−3z)(x−y+3z)(x+y-3z)(x-y+3z)
A=xA = x, B=y−3zB = y - 3z と置くと、(A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 となります。
(x+(y−3z))(x−(y−3z))=x2−(y−3z)2=x2−(y2−6yz+9z2)=x2−y2+6yz−9z2(x+(y-3z))(x-(y-3z)) = x^2 - (y-3z)^2 = x^2 - (y^2 - 6yz + 9z^2) = x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2
(5) (a2−ab+2b2)(a2+ab+2b2)(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)
A=a2+2b2A = a^2 + 2b^2, B=abB = ab と置くと、(A−B)(A+B)=A2−B2(A-B)(A+B) = A^2 - B^2 となります。
(a2−ab+2b2)(a2+ab+2b2)=(a2+2b2)2−(ab)2=(a4+4a2b2+4b4)−a2b2=a4+3a2b2+4b4(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2) = (a^2+2b^2)^2 - (ab)^2 = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - a^2b^2 = a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4
(6) (2a−5b−3)(2a−5b+2)(2a-5b-3)(2a-5b+2)
A=2a−5bA = 2a - 5b と置くと、(A−3)(A+2)=A2−A−6(A-3)(A+2) = A^2 -A - 6 となります。
(2a−5b−3)(2a−5b+2)=(2a−5b)2−(2a−5b)−6=(4a2−20ab+25b2)−2a+5b−6=4a2−20ab+25b2−2a+5b−6(2a-5b-3)(2a-5b+2) = (2a-5b)^2 - (2a-5b) - 6 = (4a^2 - 20ab + 25b^2) - 2a + 5b - 6 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6
(7) (3x+3y−z)(x+y+z)(3x+3y-z)(x+y+z)
(3x+3y−z)(x+y+z)=3(x+y)−z)(x+y+z)=(3A−z)(A+z)(3x+3y-z)(x+y+z) = 3(x+y)-z)(x+y+z) = (3A-z)(A+z), where A=x+yA = x+y.
(3A−z)(A+z)=3A2+3Az−Az−z2=3A2+2Az−z2=3(x+y)2+2(x+y)z−z2=3(x2+2xy+y2)+2xz+2yz−z2=3x2+6xy+3y2+2xz+2yz−z2(3A-z)(A+z) = 3A^2 + 3Az - Az - z^2 = 3A^2 + 2Az - z^2 = 3(x+y)^2 + 2(x+y)z - z^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2) + 2xz + 2yz - z^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2

3. 最終的な答え

(1) a2+b2+c2−2ab−2bc+2caa^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca
(2) 4x2+y2+4z2−4xy+4yz−8zx4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx
(3) a4−2a3+a2−1a^4 - 2a^3 + a^2 - 1
(4) x2−y2+6yz−9z2x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2
(5) a4+3a2b2+4b4a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4
(6) 4a2−20ab+25b2−2a+5b−64a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6
(7) 3x2+6xy+3y2+2xz+2yz−z23x^2 + 6xy + 3y^2 + 2xz + 2yz - z^2

「代数学」の関連問題

与えられた8つの式を因数分解する問題です。

因数分解式の展開置換
2025/5/6

与えられた分数式 $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を簡約化します。

分数式の簡約化有理化平方根
2025/5/6

与えられた分数の分母を有理化する問題です。 分数は $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ です。

有理化分数平方根数式処理
2025/5/6

与えられた3つの式を因数分解します。 (1) $ab + bc - cd - da$ (2) $2x^3 + 3x^2 - 20x$ (3) $6a^3b - 24ab^3$

因数分解多項式共通因数二乗の差
2025/5/6

与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算し、最も簡単な形にしてください。

式の計算根号展開計算
2025/5/6

与えられた2つの式を因数分解します。 問題11：$6x^2 + 17xy + 12y^2$ 問題12：$12x^2 - 23xy + 10y^2$

因数分解多項式二次式
2025/5/6

次の式を計算せよ。 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

式の計算分母の有理化平方根
2025/5/6

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を計算せよ。

式の計算平方根展開公式有理化
2025/5/6

与えられた10個の二次式を因数分解する問題です。

因数分解二次式
2025/5/6

与えられた6つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + 9xy + 8y^2$ (2) $x^2 - 12xy + 20y^2$ (3) $x^2 + 2xy - 24y^2$ (4) $a^2 ...

因数分解二次式
2025/5/6