与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算し、最も簡単な形にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算し、最も簡単な形にしてください。

2. 解き方の手順

まず、式を$(\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}))$ のように変形します。

ここで、$A = \sqrt{2}$、$B = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ とおくと、式は $(A + B)(A - B)$ となります。

これは、$A^2 - B^2$ の形に変形できます。

したがって、与えられた式は、

$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$

と書き換えることができます。

次に、$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$ を計算します。

$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5 = 8 - 2\sqrt{15}$

したがって、元の式は、

$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 2 - (8 - 2\sqrt{15}) = 2 - 8 + 2\sqrt{15} = -6 + 2\sqrt{15}$

となります。

3. 最終的な答え

$-6 + 2\sqrt{15}$