与えられた分数の分母を有理化する問題です。 分数は $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

分数は $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$ と見て、$(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}}$

$= \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6}$

$= \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分母の $\sqrt{5}$ を有理化するために、$\sqrt{5}$ を分子と分母にかけます。

$= \frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{2 \cdot 5}$

$= \frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$