与えられた分数式 $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を簡約化します。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を簡約化します。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母を$(1+\sqrt{3}) + \sqrt{2}$と見て、$(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})}{((1 + \sqrt{3}) + \sqrt{2})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})}$

分母は $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の公式を使って展開します。

$(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (1+2\sqrt{3}+3) - 2 = 4+2\sqrt{3}-2 = 2+2\sqrt{3}$

分子を展開します。

$(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{6} = 6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

よって、

$\frac{6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$

さらに分母の有理化を行います。分母が $1 + \sqrt{3}$ なので、$1 - \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1 - 3} = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$