与えられた式 $x^2 + 2xz - 2x - 4z^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xz - 2x - 4z^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$x^2 + 2xz - 2x - 4z^2 = x^2 + 2x(z - 1) - 4z^2$

次に、$x$ に関する二次式とみて、平方完成を試みます。

$x^2 + 2x(z - 1) - 4z^2 = (x + (z - 1))^2 - (z - 1)^2 - 4z^2$

$= (x + z - 1)^2 - (z^2 - 2z + 1) - 4z^2$

$= (x + z - 1)^2 - z^2 + 2z - 1 - 4z^2$

$= (x + z - 1)^2 - 5z^2 + 2z - 1$

この式では因数分解が進まないため、別の方法を試みます。

与えられた式を $x$ について整理すると、

$x^2 + (2z - 2)x - 4z^2$

$x$ に関する二次方程式 $x^2 + (2z - 2)x - 4z^2 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(2z - 2) \pm \sqrt{(2z - 2)^2 - 4(1)(-4z^2)}}{2}$

$= \frac{-2z + 2 \pm \sqrt{4z^2 - 8z + 4 + 16z^2}}{2}$

$= \frac{-2z + 2 \pm \sqrt{20z^2 - 8z + 4}}{2}$

$= -z + 1 \pm \sqrt{5z^2 - 2z + 1}$

平方の差の形になるように、与式を以下のように変形します。

$x^2 + 2xz - 2x - 4z^2 = x^2 + 2xz - 4z^2 - 2x$

ここで、式を $(x+az+b)(x+cz+d)$ の形に変形できると仮定します。

$(x+az+b)(x+cz+d) = x^2 + (a+c)xz + (b+d)x + acz^2 + (ad+bc)z + bd$

与式と比較すると、

$a+c=2$

$ac=-4$

$b+d=-2$

$ad+bc = 0$

$bd = 0$

$bd=0$ より、$b=0$ または $d=0$ です。

$b=0$ のとき、$d=-2$、 $ad=0$ より、$bc = 0$ となるので、$c=0$となり、$a=2$。これは、$ac=-4$ に矛盾します。

$d=0$ のとき、$b=-2$, $bc=0$ より、$ad=0$ となるので、$a=0$となり、$c=2$。これは、$ac=-4$ に矛盾します。

別の組み合わせを考えます。

$x^2 + 2xz - 2x - 4z^2 = (x - 2z)(x + ?z+ ?)$ のような因数分解はできないようです。

改めて与式を見てみると、$x^2 - 4z^2 + 2xz - 2x = (x-2z)(x+2z) + 2x(z-1)$.

さらに式を変形してみます。

与式 = $x^2 - 2x + 2xz - 4z^2 = x(x - 2) + 2z(x - 2z)$

$x^2+2xz -2x -4z^2 = x^2 -2x +2xz - 4z^2$

$= x(x-2) + 2z(x-2z)$

因数分解できそうな組み合わせが見当たらないため、問題文の誤りを疑います。例えば、$x^2 + 2xz - 2x - z^2$ なら $(x+z)^2-2x-2z+z^2$, $(x+z)(x+z-2)$.

3. 最終的な答え

因数分解できません。問題文に誤りがある可能性があります。