$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を計算せよ。

## 問題64 (1)

1. 問題の内容

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

二乗の展開公式 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を用いる。

$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}, c = \sqrt{5}$ として代入する。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\sqrt{2}$

$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10}$

## 問題64 (2)

1. 問題の内容

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}))$ と変形する。

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いる。

$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ として代入する。

$(\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5})) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$

$= 2 - ((\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2)$

$= 2 - (3 - 2\sqrt{15} + 5)$

$= 2 - (8 - 2\sqrt{15})$

$= 2 - 8 + 2\sqrt{15}$

$= -6 + 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$-6 + 2\sqrt{15}$