関数 $y = -2x^2 + 12x$ （ただし、$0 \le x \le 6$）の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 12x$ （ただし、$0 \le x \le 6$）の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は二次関数であり、$x^2$の係数が負であるため、上に凸のグラフになります。

したがって、頂点で最大値を取ります。

頂点の$x$座標を求めるために、平方完成を行います。

まず、$x^2$の係数でくくります。

$y = -2(x^2 - 6x)$

次に、括弧の中を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -2((x-3)^2 - 9)$

$y = -2(x-3)^2 + 18$

したがって、頂点の座標は$(3, 18)$です。

$x$の範囲は$0 \le x \le 6$であり、頂点の$x$座標である$x=3$はこの範囲に含まれています。

したがって、$x=3$で最大値を取ります。

$x=3$を関数に代入すると、最大値は $y = -2(3)^2 + 12(3) = -18 + 36 = 18$となります。

3. 最終的な答え

最大値は $18$ です。