多項式を指定された一次式で割ったときの余りを求める問題です。問題には(1)と(3)の2つの小問が含まれています。 (1) $x^3 - 2x + 1$ を $x+2$ で割ったときの余りを求めます。 (3) $2x^3 - x^2 - 8x + 1$ を $2x+3$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

多項式を指定された一次式で割ったときの余りを求める問題です。問題には(1)と(3)の2つの小問が含まれています。

(1) $x^3 - 2x + 1$ を $x+2$ で割ったときの余りを求めます。

(3) $2x^3 - x^2 - 8x + 1$ を $2x+3$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。

剰余の定理: 多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。

(1)

$P(x) = x^3 - 2x + 1$ を $x+2$ で割るので、$x+2 = 0$ となる $x = -2$ を $P(x)$ に代入します。

$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 1$

$P(-2) = -8 + 4 + 1$

$P(-2) = -3$

(3)

$Q(x) = 2x^3 - x^2 - 8x + 1$ を $2x+3$ で割るので、$2x+3 = 0$ となる $x = -\frac{3}{2}$ を $Q(x)$ に代入します。

$Q(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 - (-\frac{3}{2})^2 - 8(-\frac{3}{2}) + 1$

$Q(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{27}{8}) - (\frac{9}{4}) + 12 + 1$

$Q(-\frac{3}{2}) = -\frac{27}{4} - \frac{9}{4} + 13$

$Q(-\frac{3}{2}) = -\frac{36}{4} + 13$

$Q(-\frac{3}{2}) = -9 + 13$

$Q(-\frac{3}{2}) = 4$

3. 最終的な答え

(1) の答え: $-3$

(3) の答え: $4$