問題6：2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ の解が、すべての実数となるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

問題6：2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ の解が、すべての実数となるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c \geq 0$ の解がすべての実数となる条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac \leq 0$ が成り立つことです。

与えられた2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ において、$a = 1$, $b = 2k$, $c = k + 6$ です。

$a = 1 > 0$ であるため、判別式が $D \leq 0$ となればよい。

判別式 $D$ を計算すると、

$D = (2k)^2 - 4(1)(k + 6) = 4k^2 - 4k - 24$

$D \leq 0$ より、

$4k^2 - 4k - 24 \leq 0$

両辺を4で割ると、

$k^2 - k - 6 \leq 0$

左辺を因数分解すると、

$(k - 3)(k + 2) \leq 0$

したがって、$k$ の範囲は $-2 \leq k \leq 3$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq k \leq 3$