多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割ると余りが $3$、$x-5$ で割ると余りが $-21$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x-5)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割ると余りが $3$、$x-5$ で割ると余りが $-21$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x-5)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-3)(x-5)$ で割ったときの余りを $ax + b$ と置く。すると、ある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + ax + b$$

と表せる。

剰余の定理より、$P(3) = 3$ かつ $P(5) = -21$ である。

$x=3$ を代入すると

$$P(3) = (3-3)(3-5)Q(3) + 3a + b = 3a + b$$

したがって、

$$3a + b = 3 \quad (*)$$

$x=5$ を代入すると

$$P(5) = (5-3)(5-5)Q(5) + 5a + b = 5a + b$$

したがって、

$$5a + b = -21 \quad (**)$$

$(**)$ から $(*)$ を引くと

$$2a = -24$$

$$a = -12$$

これを $(*)$ に代入すると

$$3(-12) + b = 3$$

$$-36 + b = 3$$

$$b = 39$$

したがって、余りは $-12x + 39$ である。

3. 最終的な答え

$-12x+39$