$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の範囲で、$\cos{\alpha} = -\frac{2}{3}$のとき、$\sin{2\alpha}$の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の範囲で、$\cos{\alpha} = -\frac{2}{3}$のとき、$\sin{2\alpha}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ の関係を利用して、$\sin{\alpha}$ の値を求める。

$\cos{\alpha} = -\frac{2}{3}$ なので、

$\sin^2{\alpha} + (-\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2{\alpha} + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2{\alpha} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\sin{\alpha} > 0$ であるから、

$\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ の公式を利用して、$\sin{2\alpha}$ の値を求める。

$\sin{2\alpha} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot (-\frac{2}{3})$

$\sin{2\alpha} = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin{2\alpha} = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$