2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、その2つの解がともに1より小さくなるような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、その2つの解がともに1より小さくなるような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とします。$\alpha$ と $\beta$ が異なる2つの実数解であるためには、まず判別式 $D > 0$ が必要です。さらに、$\alpha < 1$ かつ $\beta < 1$ である必要があります。言い換えると、次の条件を満たす必要があります。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) (解と係数の関係から) $\alpha + \beta < 2$

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$

(解と係数の関係を使わずに、) $f(x) = x^2 + 2mx + 2m^2 - 5$ とおくと、$f(1) > 0$

(iv) 軸の位置が $x < 1$ にある。$-m < 1$

(i) 判別式 $D > 0$

$D/4 = m^2 - (2m^2 - 5) = -m^2 + 5 > 0$

$m^2 < 5$

$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

(ii) 解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2m$

$-2m < 2$

$m > -1$

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$

$\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 > 0$

解と係数の関係より $\alpha \beta = 2m^2 - 5$

$2m^2 - 5 - (-2m) + 1 > 0$

$2m^2 + 2m - 4 > 0$

$m^2 + m - 2 > 0$

$(m + 2)(m - 1) > 0$

$m < -2$ または $m > 1$

(iv) 軸の位置が $x < 1$ にある。軸は $x = -m$ であるから、 $-m < 1$。したがって、 $m > -1$。

(i), (ii), (iii) をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$ と $m > -1$ より、$-1 < m < \sqrt{5}$

さらに、$m < -2$ または $m > 1$ より、$1 < m < \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 < m < \sqrt{5}$