$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\cos\alpha = -\frac{2}{3}$ である。この条件の下で、以下の値を求める問題です。 (1) $\sin 2\alpha$ (2) $\cos 2\alpha$ (3) $\tan 2\alpha$

はい、承知しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき、$\cos\alpha = -\frac{2}{3}$ である。この条件の下で、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin 2\alpha$

(2) $\cos 2\alpha$

(3) $\tan 2\alpha$

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求めます。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ の関係式を利用します。

$\sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin\alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\sin\alpha > 0$ です。したがって、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

(1) $\sin 2\alpha$ を求めます。$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ の公式を利用します。

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$

$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos 2\alpha$ を求めます。$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ の公式を利用します。

$\cos 2\alpha = 2\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 1$

$\cos 2\alpha = 2\left(\frac{4}{9}\right) - 1$

$\cos 2\alpha = \frac{8}{9} - 1$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

(3) $\tan 2\alpha$ を求めます。$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$ の関係式を利用します。

$\tan 2\alpha = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{-\frac{1}{9}}$

$\tan 2\alpha = 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

(3) $\tan 2\alpha = 4\sqrt{5}$