2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるような $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるような $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式の解が $x \le -\frac{1}{2}$ と $x \ge 3$ であることから、不等号の向きを考慮すると、$a<0$ である必要があります。

このことから、与えられた不等式は $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ となる $x$ の値が $x = -\frac{1}{2}$ と $x=3$ であることを意味します。つまり、$x = -\frac{1}{2}$ と $x = 3$ は方程式 $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ の解となります。

$x = -\frac{1}{2}$ と $x = 3$ を解とする2次方程式は、

$(x + \frac{1}{2})(x - 3) = 0$

$x^2 - 3x + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

$x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

この2次方程式に定数倍 $k$ をかけたもの、

$k(2x^2 - 5x - 3) = 0$

$2kx^2 - 5kx - 3k = 0$

が与えられた方程式 $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ と一致するはずです。

したがって、

$2a = 2k$

$2b = -5k$

$1 = -3k$

$1 = -3k$ より $k = -\frac{1}{3}$ となります。

$2a = 2k$ より $a = k = -\frac{1}{3}$

$2b = -5k$ より $b = -\frac{5}{2}k = -\frac{5}{2}(-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6}$

以上より、$a = -\frac{1}{3}$ 、 $b = \frac{5}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$

$b = \frac{5}{6}$