$(2x+3y)^5$ の展開式における一般項を求め、特に $[x^3y^2]$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x+3y)^5$ の展開式における一般項を求め、特に $[x^3y^2]$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開式の一般項を求めます。 $(a+b)^n$ の展開式の一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ で表されます。

この問題では、 $a=2x$, $b=3y$, $n=5$ です。

一般項は ${}_5 C_r (2x)^{5-r} (3y)^r$ となります。

$x^3 y^2$ の項を見つけるには、 $5-r = 3$ かつ $r = 2$ となる $r$ を探します。$r=2$ は条件を満たします。

したがって、$x^3 y^2$ の項は ${}_5 C_2 (2x)^3 (3y)^2$ となります。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(2x)^3 = 8x^3$

$(3y)^2 = 9y^2$

したがって、$x^3 y^2$ の項は $10 \times 8x^3 \times 9y^2 = 10 \times 8 \times 9 x^3 y^2 = 720x^3 y^2$ となります。

したがって、 $x^3 y^2$ の係数は 720 です。

一般項は ${}_5 C_r (2x)^{5-r} (3y)^r = {}_5 C_r 2^{5-r} 3^r x^{5-r} y^r$となります。

3. 最終的な答え

720