与えられた2つの2次不等式が、すべての実数 $x$ に対して成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ (2) $mx^2 + 4x - 2 < 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次不等式が、すべての実数 $x$ に対して成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$

(2) $mx^2 + 4x - 2 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件を求めます。

これは、$y = x^2 + mx + 3m - 5$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある、つまり下に凸で、$x$ 軸と交わらない（または接する）ことを意味します。

判別式 $D = m^2 - 4(3m - 5)$ が負であればよいです。

$D = m^2 - 12m + 20 < 0$

$(m - 2)(m - 10) < 0$

したがって、$2 < m < 10$

(2) $mx^2 + 4x - 2 < 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件を求めます。

まず、$m = 0$ の場合を考えると、$4x - 2 < 0$ となり、これはすべての $x$ で成り立つわけではありません。

次に、$m < 0$ の場合、$y = mx^2 + 4x - 2$ のグラフは上に凸の放物線になります。

したがって、これが常に $x$ 軸より下にあるためには、判別式 $D = 4^2 - 4m(-2) = 16 + 8m$ が負である必要があります。

$16 + 8m < 0$

$8m < -16$

$m < -2$

したがって、 $m < -2$

3. 最終的な答え

(1) $2 < m < 10$

(2) $m < -2$