問題1.4では、与えられた関数の定義域、値域、および逆関数を求めます。問題1.5では、与えられた関数の逆関数を求めます。

1. 問題の内容

問題1.4では、与えられた関数の定義域、値域、および逆関数を求めます。問題1.5では、与えられた関数の逆関数を求めます。

2. 解き方の手順

問題1.4

(1) $y = \frac{1-x}{x}$

定義域：分母が0にならないように、$x \neq 0$

$y = \frac{1}{x} - 1$ なので、$y \neq -1$

値域：$y \neq -1$

逆関数：

$y = \frac{1-x}{x}$

$xy = 1 - x$

$xy + x = 1$

$x(y+1) = 1$

$x = \frac{1}{y+1}$

よって、逆関数は $y = \frac{1}{x+1}$

(2) $y = \frac{x-1}{x+3}$

定義域：分母が0にならないように、$x \neq -3$

$y = \frac{x-1}{x+3} = \frac{x+3-4}{x+3} = 1 - \frac{4}{x+3}$ なので、$y \neq 1$

値域：$y \neq 1$

逆関数：

$y = \frac{x-1}{x+3}$

$y(x+3) = x-1$

$yx + 3y = x - 1$

$yx - x = -1 - 3y$

$x(y-1) = -1 - 3y$

$x = \frac{-1-3y}{y-1} = \frac{3y+1}{1-y}$

よって、逆関数は $y = \frac{3x+1}{1-x}$

問題1.5

(1) $y = ax + b$ ($a \neq 0$)

逆関数：

$y = ax + b$

$ax = y - b$

$x = \frac{y-b}{a}$

よって、逆関数は $y = \frac{x-b}{a}$

(2) $y = x^2 - 2x$ ($x \leq 1$)

$y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

$y+1 = (x-1)^2$

$x \leq 1$ なので、$x-1 \leq 0$

$x-1 = -\sqrt{y+1}$

$x = 1 - \sqrt{y+1}$

よって、逆関数は $y = 1 - \sqrt{x+1}$

3. 最終的な答え

問題1.4

(1) 定義域: $x \neq 0$, 値域: $y \neq -1$, 逆関数: $y = \frac{1}{x+1}$

(2) 定義域: $x \neq -3$, 値域: $y \neq 1$, 逆関数: $y = \frac{3x+1}{1-x}$

問題1.5

(1) $y = \frac{x-b}{a}$

(2) $y = 1 - \sqrt{x+1}$