2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}$ の値を求めよ。 (2) $\frac{\alpha^2}{\beta}$, $\frac{\beta^2}{\alpha}$ を2つの解とする $x$ の2次方程式を作れ。ただし、$x^2$ の係数は1とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}$ の値を求めよ。

(2) $\frac{\alpha^2}{\beta}$, $\frac{\beta^2}{\alpha}$ を2つの解とする $x$ の2次方程式を作れ。ただし、$x^2$ の係数は1とする。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1$ および $\alpha \beta = -1$ である。

$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta}$ である。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ を用いると、

$\alpha^3 + \beta^3 = (1)^3 - 3(-1)(1) = 1 + 3 = 4$ となる。

したがって、$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{4}{-1} = -4$ となる。

(2) 2つの解を $\frac{\alpha^2}{\beta}$, $\frac{\beta^2}{\alpha}$ とする2次方程式は、解と係数の関係より、

$x^2 - (\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha})x + \frac{\alpha^2}{\beta} \cdot \frac{\beta^2}{\alpha} = 0$ と表せる。

(1)より、$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -4$ であり、

$\frac{\alpha^2}{\beta} \cdot \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = -1$ である。

したがって、求める2次方程式は $x^2 - (-4)x + (-1) = 0$ より $x^2 + 4x - 1 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) $x^2 + 4x - 1 = 0$