与えられた式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

展開したときに $xyz$ の項を作るには、各括弧から $x, y, z$ を一つずつ選び、それらを掛け合わせる必要があります。

各括弧からどの変数を選ぶかで場合分けをし、それぞれの係数を求めます。

(1) 1つ目の括弧から $x$, 2つ目の括弧から $y$, 3つ目の括弧から $z$ を選ぶ場合：

$1 \cdot 3 \cdot (-3) = -9$

(2) 1つ目の括弧から $x$, 2つ目の括弧から $z$, 3つ目の括弧から $y$ を選ぶ場合：

$1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$

(3) 1つ目の括弧から $y$, 2つ目の括弧から $x$, 3つ目の括弧から $z$ を選ぶ場合：

$1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6$

(4) 1つ目の括弧から $y$, 2つ目の括弧から $z$, 3つ目の括弧から $x$ を選ぶ場合：

$1 \cdot (-1) \cdot 4 = -4$

(5) 1つ目の括弧から $z$, 2つ目の括弧から $x$, 3つ目の括弧から $y$ を選ぶ場合：

$2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4$

(6) 1つ目の括弧から $z$, 2つ目の括弧から $y$, 3つ目の括弧から $x$ を選ぶ場合：

$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

これらの係数をすべて足し合わせると、

$-9 + 1 - 6 - 4 - 4 + 24 = 2$

3. 最終的な答え

$2$