整式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報がわかっています。 * $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りは $-x+4$ * $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $2x+5$ (1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求めます。 (2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報がわかっています。

* $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りは $-x+4$

* $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $2x+5$

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求めます。

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおきます。

すると、$P(x)$ は

$P(x) = (x+1)(x-1)Q_1(x) + ax+b$

と表せます。

$P(-1) = -a+b$ であり、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $-x+4$ であることから、$P(-1) = -(-1)+4 = 5$。

また、$P(1) = a+b$ であり、$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であることから、$P(1) = 2(1)+5 = 7$。

したがって、

$-a+b = 5$

$a+b = 7$

この連立方程式を解くと、$a=1$, $b=6$ となります。

よって、$P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割った余りは $x+6$ です。

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを $R(x) = A(x-1)^2 + 2x+5$ とおきます。

$P(x)$ は

$P(x) = (x+1)(x-1)^2Q_2(x) + A(x-1)^2 + 2x+5$

と表せます。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $-x+4$ であることから、$P(-1)=-(-1)+4 = 5$。

$P(x) = (x+1)(x-1)^2Q_2(x) + A(x-1)^2 + 2x+5$ に $x=-1$ を代入すると、

$P(-1) = A(-1-1)^2 + 2(-1)+5 = 4A+3$。

したがって、$4A+3=5$ より $4A = 2$ なので、$A = \frac{1}{2}$。

求める余りは $R(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2x+5 = \frac{1}{2}(x^2-2x+1) + 2x+5 = \frac{1}{2}x^2 -x + \frac{1}{2} + 2x + 5 = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $x+6$

(2) $\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$