多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ を、それぞれ $x-1$, $x-2$, $x+1$, $x-3$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ を、それぞれ $x-1$, $x-2$, $x+1$, $x-3$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ で求められます。

(1) $x-1$ で割ったときの余り：$P(1)$ を計算します。

$P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - (1) - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$

(2) $x-2$ で割ったときの余り：$P(2)$ を計算します。

$P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - (2) - 3 = 8 + 12 - 2 - 3 = 15$

(3) $x+1$ で割ったときの余り：$P(-1)$ を計算します。

$P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0$

(4) $x-3$ で割ったときの余り：$P(3)$ を計算します。

$P(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - (3) - 3 = 27 + 27 - 3 - 3 = 48$

3. 最終的な答え

(1) $x-1$ で割ったときの余り：0

(2) $x-2$ で割ったときの余り：15

(3) $x+1$ で割ったときの余り：0

(4) $x-3$ で割ったときの余り：48