$x, y, z$ が $x-2y+z=4$ および $2x+y-3z=-7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y, z$ が $x-2y+z=4$ および $2x+y-3z=-7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの式から $x$ と $y$ を $z$ を用いて表します。

$x-2y+z = 4$ ... (1)

$2x+y-3z = -7$ ... (2)

(2)式を2倍して、

$4x+2y-6z=-14$ ...(3)

(1)式と(3)式を足し合わせると、

$5x - 5z = -10$

$x - z = -2$

$x = z - 2$ ... (4)

(4)式を(1)式に代入すると、

$(z-2) - 2y + z = 4$

$2z - 2y = 6$

$z - y = 3$

$y = z - 3$ ... (5)

次に、$x=z-2$ と $y=z-3$ を $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に代入します。

$a(z-2)^2 + 2b(z-3)^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z^2-4z+4) + 2b(z^2-6z+9) + 3cz^2 = 18$

$az^2 - 4az + 4a + 2bz^2 - 12bz + 18b + 3cz^2 = 18$

$(a+2b+3c)z^2 + (-4a-12b)z + (4a+18b) = 18$

これが任意の $z$ に対して成り立つためには、以下の条件が必要です。

$a+2b+3c = 0$ ... (6)

$-4a-12b = 0$ ... (7)

$4a+18b = 18$ ... (8)

(7)式より、

$-4a = 12b$

$a = -3b$ ... (9)

(9)式を(8)式に代入すると、

$4(-3b) + 18b = 18$

$-12b + 18b = 18$

$6b = 18$

$b = 3$

$b=3$ を (9)式に代入すると、

$a = -3(3) = -9$

$a=-9$ と $b=3$ を (6)式に代入すると、

$-9 + 2(3) + 3c = 0$

$-9 + 6 + 3c = 0$

$-3 + 3c = 0$

$3c = 3$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$a = -9, b = 3, c = 1$