与えられた4つの多項式の積を展開する問題です。 (1) $(x^2+5x+3)(x-4)$ (2) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$ (3) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$ (4) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$

1. 問題の内容

与えられた4つの多項式の積を展開する問題です。

(1) $(x^2+5x+3)(x-4)$

(2) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$

(3) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$

(4) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$

2. 解き方の手順

各問題について、分配法則を用いて展開し、同類項をまとめることで計算を進めます。

(1) $(x^2+5x+3)(x-4)$

$= x^2(x-4) + 5x(x-4) + 3(x-4)$

$= x^3 - 4x^2 + 5x^2 - 20x + 3x - 12$

$= x^3 + x^2 - 17x - 12$

(2) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$

$= x^2(x-3y) - 2xy(x-3y) - y^2(x-3y)$

$= x^3 - 3x^2y - 2x^2y + 6xy^2 - xy^2 + 3y^3$

$= x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(3) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$

$= x^2(2x^2-5x+1) - 3x(2x^2-5x+1) + 5(2x^2-5x+1)$

$= 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 6x^3 + 15x^2 - 3x + 10x^2 - 25x + 5$

$= 2x^4 - 11x^3 + 26x^2 - 28x + 5$

(4) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$

$= 2x^2(3x^2-2xy+y^2) - 3xy(3x^2-2xy+y^2) - y^2(3x^2-2xy+y^2)$

$= 6x^4 - 4x^3y + 2x^2y^2 - 9x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3 - 3x^2y^2 + 2xy^3 - y^4$

$= 6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + x^2 - 17x - 12$

(2) $x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(3) $2x^4 - 11x^3 + 26x^2 - 28x + 5$

(4) $6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$