整式 $f(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $x+1$ であり、$x-2$ で割ると余りが $5$ である。$f(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $x+1$ であり、$x-2$ で割ると余りが $5$ である。$f(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

求める余りを $ax^2+bx+c$ とおく。

$f(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、

$$f(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + ax^2+bx+c$$

$f(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $x+1$ であることから、 $ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $x+1$ である。

従って、

$$ax^2+bx+c = a(x-1)^2 + x+1 = a(x^2-2x+1) + x+1 = ax^2 + (-2a+1)x + (a+1)$$

$f(x)$ を $x-2$ で割った余りが $5$ であることから、$f(2) = 5$ である。

$f(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + a(x-1)^2 + x+1$ に $x=2$ を代入すると、

$$f(2) = (2-1)^2(2-2)Q(2) + a(2-1)^2 + 2+1 = 0 + a(1)^2 + 3 = a+3$$

$f(2) = 5$ より、

$$a+3 = 5$$

$$a = 2$$

よって、

$$ax^2+bx+c = 2(x-1)^2 + x+1 = 2(x^2-2x+1) + x+1 = 2x^2 - 4x + 2 + x + 1 = 2x^2 - 3x + 3$$

3. 最終的な答え

$2x^2 - 3x + 3$