複素数平面上の2点A($\alpha$)、B($\beta$)と原点Oが一直線上にあるとき、実数x, yの値を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\alpha = 8 - 2i$, $\beta = x + i$ のときの実数xの値を求めます。 (2) $\alpha = 3 + 9i$, $\beta = 2 + yi$ のときの実数yの値を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点A($\alpha$)、B($\beta$)と原点Oが一直線上にあるとき、実数x, yの値を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $\alpha = 8 - 2i$, $\beta = x + i$ のときの実数xの値を求めます。

(2) $\alpha = 3 + 9i$, $\beta = 2 + yi$ のときの実数yの値を求めます。

2. 解き方の手順

複素数$\alpha$と$\beta$が複素数平面上で原点と一直線上にあるということは、$\beta = k\alpha$ (kは実数)と表せるということです。

(1) $\alpha = 8 - 2i$, $\beta = x + i$ の場合:

$\beta = k\alpha$ より、

$x + i = k(8 - 2i)$

$x + i = 8k - 2ki$

実部と虚部を比較すると、

$x = 8k$

$1 = -2k$

2番目の式から、$k = -\frac{1}{2}$となります。

これを1番目の式に代入すると、$x = 8 \times (-\frac{1}{2}) = -4$

(2) $\alpha = 3 + 9i$, $\beta = 2 + yi$ の場合:

$\beta = k\alpha$ より、

$2 + yi = k(3 + 9i)$

$2 + yi = 3k + 9ki$

実部と虚部を比較すると、

$2 = 3k$

$y = 9k$

1番目の式から、$k = \frac{2}{3}$となります。

これを2番目の式に代入すると、$y = 9 \times (\frac{2}{3}) = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = -4$

(2) $y = 6$