2次関数 $y = x^2 - 4ax + b$ が区間 $1 \le x \le 4$ において最大値6, 最小値2をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4ax + b$ が区間 $1 \le x \le 4$ において最大値6, 最小値2をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax + b = (x - 2a)^2 - 4a^2 + b$

したがって、軸は $x = 2a$ となります。

次に、軸の位置によって場合分けを行います。

(i) $2a < 1$ のとき

区間 $1 \le x \le 4$ で $x$ が増加すると $y$ は増加するので、$x=1$ で最小値、 $x=4$ で最大値をとります。

$x=1$ のとき $y = 1 - 4a + b = 2$

$x=4$ のとき $y = 16 - 16a + b = 6$

この連立方程式を解くと

$16 - 16a + b - (1 - 4a + b) = 6 - 2$

$15 - 12a = 4$

$12a = 11$

$a = \frac{11}{12}$

これは、$2a < 1$ つまり $a < \frac{1}{2}$ を満たさないので、不適です。

(ii) $1 \le 2a \le 4$ のとき

区間 $1 \le x \le 4$ で $x = 2a$ のとき最小値 $y = -4a^2 + b = 2$ をとります。

次に、最大値は $x=1$ または $x=4$ のどちらかでとります。

(a) $1 \le 2a \le \frac{5}{2}$ のとき、 $x=4$ で最大値をとります。

$x=4$ のとき $y = 16 - 16a + b = 6$

$-4a^2 + b = 2$ を用いて $b = 4a^2 + 2$ となり、

$16 - 16a + 4a^2 + 2 = 6$

$4a^2 - 16a + 12 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 1)(a - 3) = 0$

$a=1, 3$

$a=1$ のとき $b = 6$

$a=3$ のとき $b = 38$

$a=1$ のとき $2a = 2$ であり、$1 \le 2a \le \frac{5}{2}$ を満たします。

$a=3$ のとき $2a = 6$ であり、$1 \le 2a \le \frac{5}{2}$ を満たさないので、不適です。

(b) $\frac{5}{2} < 2a \le 4$ のとき、$x=1$ で最大値をとります。

$x=1$ のとき $y = 1 - 4a + b = 6$

$-4a^2 + b = 2$ を用いて $b = 4a^2 + 2$ となり、

$1 - 4a + 4a^2 + 2 = 6$

$4a^2 - 4a - 3 = 0$

$(2a - 3)(2a + 1) = 0$

$a = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$

$a = \frac{3}{2}$ のとき $b = 11$

$a = -\frac{1}{2}$ のとき $b = 3$

$a = \frac{3}{2}$ のとき $2a = 3$ であり、$\frac{5}{2} < 2a \le 4$ を満たします。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき $2a = -1$ であり、$\frac{5}{2} < 2a \le 4$ を満たさないので、不適です。

(iii) $2a > 4$ のとき

区間 $1 \le x \le 4$ で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=4$ で最小値、 $x=1$ で最大値をとります。

$x=1$ のとき $y = 1 - 4a + b = 6$

$x=4$ のとき $y = 16 - 16a + b = 2$

この連立方程式を解くと

$1 - 4a + b - (16 - 16a + b) = 6 - 2$

$-15 + 12a = 4$

$12a = 19$

$a = \frac{19}{12}$

これは、$2a > 4$ つまり $a > 2$ を満たさないので、不適です。

したがって、$a=1, b=6$ または $a=\frac{3}{2}, b=11$ となります。

3. 最終的な答え

$a=1, b=6$ または $a=\frac{3}{2}, b=11$