$(2x^2 - x + 1)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(2x^2 - x + 1)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を利用する。$(2x^2 - x + 1)^7$ の展開式の一般項は、

$$\frac{7!}{p!q!r!} (2x^2)^p (-x)^q (1)^r = \frac{7!}{p!q!r!} 2^p (-1)^q x^{2p+q}$$

ここで、$p, q, r$ は非負整数で、$p+q+r=7$ である。$x^4$ の係数を求めるには、$2p+q = 4$ となるような $p, q, r$ の組み合わせを見つければよい。

$p+q+r = 7$ かつ $2p+q = 4$を満たす非負整数 $p, q, r$ の組を求める。

$2p + q = 4$ より、$q = 4 - 2p$ である。

これを $p+q+r = 7$ に代入すると、$p + (4 - 2p) + r = 7$ となり、$-p + r = 3$ すなわち $r = p + 3$ となる。

考えられる $p$ の値は $p=0, 1, 2$ である。

(i) $p=0$ のとき、$q = 4 - 2(0) = 4$、$r = 0+3 = 3$。このとき$\frac{7!}{0!4!3!} 2^0 (-1)^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 \cdot 1 = 35$

(ii) $p=1$ のとき、$q = 4 - 2(1) = 2$、$r = 1+3 = 4$。このとき$\frac{7!}{1!2!4!} 2^1 (-1)^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1260$

(iii) $p=2$ のとき、$q = 4 - 2(2) = 0$、$r = 2+3 = 5$。このとき$\frac{7!}{2!0!5!} 2^2 (-1)^0 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 84 \cdot 2 = 168 \cdot 2 = 336$

$x^4$ の係数は、これらの和で与えられる。

$35 + 420 + 336 = 791$

3. 最終的な答え

791