与えられた分数式の引き算 $\frac{x+3}{(x-1)^2} - \frac{x}{x^2+x-2}$ を計算し、できるだけ簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた分数式の引き算 $\frac{x+3}{(x-1)^2} - \frac{x}{x^2+x-2}$ を計算し、できるだけ簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を因数分解します。

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

したがって、与式は

$\frac{x+3}{(x-1)^2} - \frac{x}{(x+2)(x-1)}$

次に、2つの分数の共通分母を見つけます。共通分母は $(x-1)^2(x+2)$ となります。

それぞれの分数を共通分母で表します。

$\frac{x+3}{(x-1)^2} = \frac{(x+3)(x+2)}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{x^2+5x+6}{(x-1)^2(x+2)}$

$\frac{x}{(x+2)(x-1)} = \frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{x^2-x}{(x-1)^2(x+2)}$

したがって、与式は

$\frac{x^2+5x+6}{(x-1)^2(x+2)} - \frac{x^2-x}{(x-1)^2(x+2)}$

分子を計算します。

$\frac{(x^2+5x+6) - (x^2-x)}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{x^2+5x+6-x^2+x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{6x+6}{(x-1)^2(x+2)}$

分子を因数分解します。

$6x+6 = 6(x+1)$

したがって、与式は

$\frac{6(x+1)}{(x-1)^2(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{6(x+1)}{(x-1)^2(x+2)}$