与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。 $\frac{x^3+1}{3} + \frac{x^2-x+1}{x-2}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。

$\frac{x^3+1}{3} + \frac{x^2-x+1}{x-2}$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 1$を因数分解します。これは和の立方体の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を使って、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ となります。

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{3} + \frac{x^2-x+1}{x-2}$

$x^2-x+1$が共通因数なので、これをくくり出すと、

$(x^2-x+1) (\frac{x+1}{3} + \frac{1}{x-2})$

次に、括弧の中の分数を足し合わせます。

$\frac{x+1}{3} + \frac{1}{x-2} = \frac{(x+1)(x-2) + 3}{3(x-2)} = \frac{x^2 - 2x + x - 2 + 3}{3(x-2)} = \frac{x^2 - x + 1}{3(x-2)}$

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$(x^2-x+1)(\frac{x^2-x+1}{3(x-2)}) = \frac{(x^2-x+1)^2}{3(x-2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{(x^2-x+1)^2}{3(x-2)}$