## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

以下の問題について、指定された形式で解答します。

(1) $(2a+b)^2 (2a-b)^2$

(2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

(3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

##

2. 解き方の手順

(1) $(2a+b)^2 (2a-b)^2$

これは、$(2a+b)(2a-b)$を先に計算すると簡単になります。

$(2a+b)(2a-b)=4a^2 - b^2$なので、

$(4a^2-b^2)^2 = (4a^2)^2 - 2(4a^2)(b^2) + (b^2)^2$

$=16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

(2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

$(x-2)(x+2)$を先に計算します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - (4)^2$

$= x^4 - 16$

(3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$

$a^2-a$ を $A$ と置くと、

$(A+1)(A-1) = A^2 - 1$

ここで、$A=a^2-a$ なので、

$(a^2-a)^2 - 1 = (a^4 - 2a^3 + a^2) - 1$

$= a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

$x$ を共通項として考えると、

$(x+(y-3z))(x-(y-3z)) = x^2 - (y-3z)^2$

$= x^2 - (y^2 - 6yz + 9z^2)$

$= x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

$a^2+2b^2$ を $A$ と置くと、

$(A - ab)(A + ab) = A^2 - (ab)^2$

ここで、$A = a^2 + 2b^2$なので、

$(a^2 + 2b^2)^2 - (ab)^2 = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - a^2b^2$

$= a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

$2a-5b$ を $A$ と置くと、

$(A-3)(A+2) = A^2 -A - 6$

ここで、$A=2a-5b$ なので、

$(2a-5b)^2 - (2a-5b) - 6 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

$3(x+y)$を$A$とおくと、

$(A-z)(\frac{1}{3}A+z) = \frac{1}{3}A^2 + \frac{2}{3}Az-z^2$

ここで、$A = 3(x+y)$なので、

$\frac{1}{3}(3(x+y))^2 + \frac{2}{3}(3(x+y))z - z^2$

$= \frac{1}{3}(9(x^2+2xy+y^2)) + 2(x+y)z - z^2$

$=3x^2+6xy+3y^2 + 2xz+2yz - z^2$

##

3. 最終的な答え

(1) $16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

(2) $x^4 - 16$

(3) $a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(4) $x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $3x^2+6xy+3y^2 + 2xz+2yz - z^2$