与えられた分数式の和を計算せよ。与えられた式は、 $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$ である。

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算せよ。与えられた式は、

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

である。

2. 解き方の手順

各項を部分分数分解する。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

$\frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

したがって、与えられた和は

$(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + (\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4})$

$= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{(x+4) - (x+1)}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{3}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{3}{x^2 + 5x + 4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{(x+1)(x+4)}$ または $\frac{3}{x^2 + 5x + 4}$