二次方程式 $4x^2 + 4(m+2)x + 9m = 0$ について、以下の問いに答える。 (1) 2つの虚数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 重解をもつとき、定数 $m$ の値とそのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $4x^2 + 4(m+2)x + 9m = 0$ について、以下の問いに答える。

(1) 2つの虚数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 重解をもつとき、定数 $m$ の値とそのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの虚数解を持つ条件は、判別式 $D < 0$ であることである。

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (4(m+2))^2 - 4(4)(9m)$

$D = 16(m^2 + 4m + 4) - 144m$

$D = 16m^2 + 64m + 64 - 144m$

$D = 16m^2 - 80m + 64$

$D = 16(m^2 - 5m + 4)$

$D = 16(m-1)(m-4)$

$D < 0$ となるのは、$16(m-1)(m-4) < 0$ すなわち $(m-1)(m-4) < 0$ のときである。

したがって、$1 < m < 4$ が答えである。

(2) 重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であることである。

$16(m-1)(m-4) = 0$ より、$m=1$ または $m=4$ である。

$m=1$ のとき、二次方程式は $4x^2 + 4(1+2)x + 9(1) = 0$

$4x^2 + 12x + 9 = 0$

$(2x+3)^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$m=4$ のとき、二次方程式は $4x^2 + 4(4+2)x + 9(4) = 0$

$4x^2 + 24x + 36 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

3. 最終的な答え

(1) $1 < m < 4$

(2) $m=1$ のとき、重解 $x = -\frac{3}{2}$

$m=4$ のとき、重解 $x = -3$