与えられた複素数の式 $\frac{2i}{3-i}$ を計算し、簡単な形にすること。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $\frac{2i}{3-i}$ を計算し、簡単な形にすること。

2. 解き方の手順

複素数の分母を実数化するために、分母の共役複素数 $3+i$ を分子と分母にかけます。

$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

分子を計算します：

$2i(3+i) = 6i + 2i^2 = 6i - 2 = -2 + 6i$

分母を計算します：

$(3-i)(3+i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$

したがって、

$\frac{2i}{3-i} = \frac{-2+6i}{10} = \frac{-2}{10} + \frac{6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$