与えられた4つの式を展開せよという問題です。 (1) $(x^2+x+1)(x^2+x-1)$ (2) $(x^2+2x+3)(x^2+2x-1)$ (3) $(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$ (4) $(x^2+1-x)(x^2-x+3)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開せよという問題です。

(1) $(x^2+x+1)(x^2+x-1)$

(2) $(x^2+2x+3)(x^2+2x-1)$

(3) $(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$

(4) $(x^2+1-x)(x^2-x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+x = A$ と置くと、

$(A+1)(A-1) = A^2 - 1 = (x^2+x)^2 - 1 = x^4 + 2x^3 + x^2 - 1$

(2) $x^2+2x = B$ と置くと、

$(B+3)(B-1) = B^2 + 2B - 3 = (x^2+2x)^2 + 2(x^2+2x) - 3 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 2x^2 + 4x - 3 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 3$

(3) $x^2+4 = C$ と置くと、

$(C-2x)(C+2x) = C^2 - (2x)^2 = (x^2+4)^2 - 4x^2 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 = x^4 + 4x^2 + 16$

(4) $x^2-x = D$ と置くと、

$(D+1)(D+3) = D^2 + 4D + 3 = (x^2-x)^2 + 4(x^2-x) + 3 = x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x^2 - 4x + 3 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 2x^3 + x^2 - 1$

(2) $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 3$

(3) $x^4 + 4x^2 + 16$

(4) $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$