与えられた分数式の和を計算する問題です。 与えられた式は $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算する問題です。

与えられた式は

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用して、各項をより簡単な分数に分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$とおくと、$1 = A(x+2) + B(x+1)$となります。

$x=-1$のとき、$1 = A(-1+2)$より$A=1$です。

$x=-2$のとき、$1 = B(-2+1)$より$B=-1$です。

したがって、

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

同様に、

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

$\frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

これらの結果を元の式に代入すると、

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} = (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + (\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4})$

$= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{(x+4) - (x+1)}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{3}{(x+1)(x+4)}$

$= \frac{3}{x^2 + 5x + 4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{x^2 + 5x + 4}$