0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る問題です。 (i) 3桁の整数は何個できるか。 (ii) 偶数は何個できるか。 (iii) 321以下の整数は何個できるか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る問題です。

(i) 3桁の整数は何個できるか。

(ii) 偶数は何個できるか。

(iii) 321以下の整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(i) 3桁の整数

百の位は0以外の数字が入るので、5通り。

十の位は百の位で使った数字以外から選ぶので、5通り。

一の位は百の位と十の位で使った数字以外から選ぶので、4通り。

よって、3桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 = 100$ 個

(ii) 偶数

一の位が0の場合：百の位は0以外の5通り、十の位は残りの4通りなので、$5 \times 4 = 20$ 個

一の位が2または4の場合：百の位は0と一の位で使った数字以外の4通り、十の位は残りの4通りなので、$2 \times 4 \times 4 = 32$ 個

よって、偶数の個数は $20 + 32 = 52$ 個

(iii) 321以下の整数

百の位が1の場合：十の位は0, 2, 3, 4, 5の5通り、一の位は残りの4通りなので、$1 \times 5 \times 4 = 20$ 個

百の位が2の場合：

十の位が0の場合：一の位は1, 3, 4, 5の4通りなので、$1 \times 1 \times 4 = 4$ 個

十の位が1の場合：一の位は0の場合のみなので、$1 \times 1 \times 1 = 1$ 個

百の位が3の場合：

十の位が0の場合：一の位は1の場合のみなので、$1 \times 1 \times 1 = 1$個

十の位が1の場合：一の位は0の場合のみなので、$1 \times 1 \times 0 = 0$個

百の位が3以外の場合：百の位が1, 2の場合で考える．

百の位が1の場合：十の位は0~5のいずれかの数となる．一の位はその残りの数字となる．

したがって、$1 \times 5 \times 4 = 20$個．

百の位が2の場合：十の位は0~5のいずれかの数となる．一の位はその残りの数字となる．

したがって、$1 \times 5 \times 4 = 20$個．

百の位が0の場合：条件を満たさない．

百の位が1の場合の数：20個

百の位が2の場合の数：十の位が0の場合: 1, 3, 4, 5 の4通り．十の位が1の場合: 0 の1通り． よって， 5通り

百の位が3の場合：十の位が0, 1 のいずれかの場合に条件を満たす．十の位が0の場合: 一の位は1の1通り．十の位が1の場合， 0個．よって， 1通り

百の位が4, 5の場合：321以下にはならない．

321自身：321は条件を満たす．

したがって，求める個数は $20+5+1+1 = 52$ 個

3桁の整数の個数：$5 \times 5 \times 4 = 100$個．

1桁の場合：1, 2, 3, 4, 5の5個

2桁の場合：10, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 34, 35の15個

321以下の整数：321, 320, 315, 314, 312, 310, 305, 304, 302, 301, 254, 253, 251, 250, 245, 243, 241, 240, ...

321以下の整数の個数を直接数えるのは難しいので、別の方法を考えます。

3. 最終的な答え

(i) 100個

(ii) 52個

(iii) 52個