(1) 多項式 $P(x)$ は $x+2$ で割ると3余り, $x-1$ で割り切れる。このとき、$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) $x^{20}+1$ を $x^2+x$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x)$ は $x+2$ で割ると3余り, $x-1$ で割り切れる。このとき、$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $x^{20}+1$ を $x^2+x$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$ である。

$P(x)$ を $x+2$ で割ると3余るので、剰余の定理より、

$P(-2) = 3$

$P(x)$ は $x-1$ で割り切れるので、剰余の定理より、

$P(1) = 0$

$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。このとき、ある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x^2+x-2)Q(x) + ax+b = (x+2)(x-1)Q(x) + ax+b$

と表せる。

$P(-2) = -2a + b = 3$

$P(1) = a + b = 0$

この連立方程式を解くと、

$3a = -3$ より $a=-1$

$b = -a = 1$

よって、余りは $-x+1$

(2)

$x^{20} + 1$ を $x^2+x$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

$x^2+x = x(x+1)$

$x^{20} + 1 = (x^2+x)Q(x) + ax+b = x(x+1)Q(x) + ax+b$

$x=0$ を代入すると、

$0^{20}+1 = 0 + a \cdot 0 + b$

$1 = b$

$x=-1$ を代入すると、

$(-1)^{20}+1 = 0 + a(-1)+b$

$1+1 = -a+b$

$2 = -a+1$

$a = -1$

よって、余りは $-x+1$

3. 最終的な答え

(1) $-x+1$

(2) $-x+1$