与えられた式 $(1+x)^3 = 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$ が正しいことを証明する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1+x)^3 = 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$ が正しいことを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理し、左辺 $(1+x)^3$ と等しくなることを示します。

右辺 = $1 + x + x(1+x) + x(1+x)^2$

　　= $1 + x + x + x^2 + x(1 + 2x + x^2)$

　　= $1 + x + x + x^2 + x + 2x^2 + x^3$

　　= $1 + 3x + 3x^2 + x^3$

一方、左辺を展開すると、

$(1+x)^3 = (1+x)(1+x)^2 = (1+x)(1+2x+x^2) = 1 + 2x + x^2 + x + 2x^2 + x^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$

したがって、右辺と左辺は等しい。

3. 最終的な答え

$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$ なので、与えられた式 $(1+x)^3 = 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$ は正しい。