$\lim_{x \to 0} \frac{\log\{(1+x)(1+x^2)\}}{x}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log\{(1+x)(1+x^2)\}}{x}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ を利用すると、

$\log\{(1+x)(1+x^2)\} = \log(1+x) + \log(1+x^2)$

となります。したがって、求める極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) + \log(1+x^2)}{x}$

と書けます。

この式を分解すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x}$

となります。

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ という既知の極限を利用します。

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} = 1$ であることを利用するために、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} \cdot x$

と変形します。

すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x^2} \cdot x = 1 \cdot 0 = 0$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x} = 1 + 0 = 1$

となります。

3. 最終的な答え

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