問題文は以下の通りです。 「応用例題3の関数について、定義域の両端 $x=0$, $x=a$ における $y$ の値が一致するときの、定数 $a$ の値を求めよ。」 「応用例題3の関数の最大値を求めよ。」 応用例題3の関数は、$y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$)です。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

「応用例題3の関数について、定義域の両端 $x=0$, $x=a$ における $y$ の値が一致するときの、定数 $a$ の値を求めよ。」

「応用例題3の関数の最大値を求めよ。」

応用例題3の関数は、$y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$)です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の両端 $x=0$, $x=a$ における $y$ の値が一致する条件を求める。

$x=0$ のとき、$y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

$x=a$ のとき、$y = a^2 - 4a + 1$

$x=0$ と $x=a$ で $y$ の値が一致するので、$1 = a^2 - 4a + 1$ が成り立つ。

$a^2 - 4a = 0$

$a(a-4) = 0$

$a=0$ または $a=4$

$a$ は正の定数なので、$a=4$

(2) 関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求める。

平方完成すると、$y = (x-2)^2 - 3$

軸は $x=2$ なので、軸が定義域に含まれるか否かで場合分けする。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$x=0$ で最大値をとる。

最大値は $y = 1$

(ii) $2 \le a$ のとき

$x=a$ で最大値をとる。

最大値は $y = a^2 - 4a + 1$

以上より、$0<a<2$のとき、最大値は1。

$a \ge 2$ のとき、最大値は$a^2-4a+1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2)

$0 < a < 2$ のとき、最大値は 1

$a \ge 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$