画像には3つの問題があります。それぞれ以下の通りです。 (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ ここでは、問題(6)と(7)を解きます。問題(5)は因数分解できないため、ここでは扱いません。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像には3つの問題があります。それぞれ以下の通りです。

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

ここでは、問題(6)と(7)を解きます。問題(5)は因数分解できないため、ここでは扱いません。

2. 解き方の手順

### 問題(6)

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理します。

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

$a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

これを整理すると、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

これに $-abc$ を加えると、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc - abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

変数の順番を考慮すると、

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

### 問題(7)

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を展開し、整理します。

まず、各項を展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

変数の順番を考慮すると、

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c$

並び替えると、

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + a^2c - ac^2$

これは因数分解できます。

$-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(b-c)(a-c)$

3. 最終的な答え

問題(6)の答え: $a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

問題(7)の答え: $(a-b)(b-c)(a-c)$ または $-(a-b)(b-c)(c-a)$