$x^{51} + 1$ を $x^2 - 1$ で割ったときの余りを求めます。

## 問題132

1. 問題の内容

$x^{51} + 1$ を $x^2 - 1$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 - 1$ で割ったときの余りは、一般に $ax + b$ の形で表されます。

割る式が2次式なので、余りは1次式か定数になるからです。

ここで、$x^{51} + 1$ を $x^2 - 1$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$$x^{51} + 1 = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b$$

と表せます。

$x^2 - 1 = 0$ となる $x$ の値は $x = 1$ と $x = -1$ です。

これらの値を上記の式に代入すると、以下の2つの式が得られます。

$x = 1$ のとき:

$$1^{51} + 1 = (1^2 - 1)Q(1) + a(1) + b$$

$$2 = a + b$$

$x = -1$ のとき:

$$(-1)^{51} + 1 = ((-1)^2 - 1)Q(-1) + a(-1) + b$$

$$-1 + 1 = -a + b$$

$$0 = -a + b$$

これらの連立方程式を解きます。

$$a + b = 2$$

$$-a + b = 0$$

2つの式を足し合わせると、

$$2b = 2$$

$$b = 1$$

$b = 1$ を $a + b = 2$ に代入すると、

$$a + 1 = 2$$

$$a = 1$$

したがって、余りは $ax + b = x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$x + 1$

## 問題133 (1)

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 7$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x = \sqrt{2} - 1$ より、$x + 1 = \sqrt{2}$ となります。

両辺を2乗すると、

$$(x + 1)^2 = (\sqrt{2})^2$$

$$x^2 + 2x + 1 = 2$$

$$x^2 + 2x - 1 = 0$$

ここで、$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 7$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ることを考えます。

実際に多項式の割り算を行うと、

$$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 7 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + x - 2) + (-6x + 5)$$

となります。

$x^2 + 2x - 1 = 0$ であるから、

$$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 10x + 7 = 0 \cdot (x^2 + x - 2) + (-6x + 5) = -6x + 5$$

ここで、$x = \sqrt{2} - 1$ を代入すると、

$$-6x + 5 = -6(\sqrt{2} - 1) + 5 = -6\sqrt{2} + 6 + 5 = -6\sqrt{2} + 11$$

3. 最終的な答え

$11 - 6\sqrt{2}$

## 問題133 (2)

1. 問題の内容

$x = 1 - \sqrt{5}i$ のとき、$x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 19x + 26$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x = 1 - \sqrt{5}i$ より、$x - 1 = -\sqrt{5}i$ となります。

両辺を2乗すると、

$$(x - 1)^2 = (-\sqrt{5}i)^2$$

$$x^2 - 2x + 1 = 5i^2 = -5$$

$$x^2 - 2x + 6 = 0$$

ここで、$x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 19x + 26$ を $x^2 - 2x + 6$ で割ることを考えます。

実際に多項式の割り算を行うと、

$$x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 19x + 26 = (x^2 - 2x + 6)(x^2 - 2x + 1) + (-7x + 20)$$

となります。

$x^2 - 2x + 6 = 0$ であるから、

$$x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 19x + 26 = 0 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (-7x + 20) = -7x + 20$$

ここで、$x = 1 - \sqrt{5}i$ を代入すると、

$$-7x + 20 = -7(1 - \sqrt{5}i) + 20 = -7 + 7\sqrt{5}i + 20 = 13 + 7\sqrt{5}i$$

3. 最終的な答え

$13 + 7\sqrt{5}i$