与えられた数式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役である $(\sqrt{2} + \sqrt{6})$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

次に、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子: $\sqrt{5} (\sqrt{2}+\sqrt{6}) = \sqrt{10} + \sqrt{30}$

分母: $(\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{6}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2 = 2 - 6 = -4$

したがって、

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{-4}$

最後に、分数の符号を調整します。

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{-4} = -\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{4}$