原点から出発し、数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら+5、裏が出たら-1移動する。硬貨を3回投げたときの表の出た回数をX、点Pの座標をYとする。このとき、Yの分散を求める。

1. 問題の内容

原点から出発し、数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら+5、裏が出たら-1移動する。硬貨を3回投げたときの表の出た回数をX、点Pの座標をYとする。このとき、Yの分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、YをXで表す。3回の試行で表がX回出たとき、裏は(3-X)回出る。したがって、点Pの座標Yは、

$Y = 5X + (-1)(3-X) = 5X - 3 + X = 6X - 3$

となる。

次に、Xの期待値と分散を求める。Xは二項分布に従うので、期待値と分散は既知の公式で求められる。硬貨を1回投げたときに表が出る確率を$p=1/2$とすると、Xは二項分布B(3, 1/2)に従う。

Xの期待値は

$E(X) = 3p = 3 \times (1/2) = 3/2$

Xの分散は

$V(X) = 3p(1-p) = 3 \times (1/2) \times (1/2) = 3/4$

最後に、Yの分散を求める。Y = 6X - 3なので、分散の性質より、

$V(Y) = V(6X - 3) = 6^2 V(X) = 36 V(X)$

$V(Y) = 36 \times (3/4) = 27$

3. 最終的な答え

Yの分散は27。