袋の中に白玉2個と赤玉5個が入っている。袋から1個取り出し、色を確認して元に戻す、という操作を6回繰り返す。このとき、白玉が出る回数を$X$とする。$X$の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉2個と赤玉5個が入っている。袋から1個取り出し、色を確認して元に戻す、という操作を6回繰り返す。このとき、白玉が出る回数を$X$とする。$X$の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

1回の試行で白玉が出る確率は $p = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ です。

試行回数は $n = 6$ です。

したがって、$X$は二項分布 $B(6, \frac{2}{7})$ に従います。

二項分布の期待値は $E(X) = np$ で、分散は $V(X) = np(1-p)$ で求められます。

期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 6 \times \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$

分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = 6 \times \frac{2}{7} \times (1 - \frac{2}{7}) = 6 \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{7} = \frac{60}{49}$

3. 最終的な答え

期待値: $\frac{12}{7}$

分散: $\frac{60}{49}$