1. 問題の内容
コインを何回か投げる時、表が合計3回出るか、裏が合計2回出たところで投げるのをやめる。このとき、表と裏の異なる出方は全部で何通りあるか。
2. 解き方の手順
表をH、裏をTと表記する。
この問題では、最後に必ずHかTが出て終わる。
場合分けをして考える。
* **最後にHが出た場合:**
この場合、最後のHを除いて、Hは2回、Tは0〜2回のいずれかが出ている。
* Tが0回の場合: HHH (1通り)
* Tが1回の場合: HHTH, HTHH, THHH (3通り)
* Tが2回の場合: HTTHH, THTHH, TTHHH, HTHHT, THHHT, HTHTH (6通り)
* **最後にTが出た場合:**
この場合、最後のTを除いて、Hは0〜3回のいずれか、Tは1回が出ている。
* Hが0回の場合: TT (1通り)
* Hが1回の場合: HTT, THT (2通り)
* Hが2回の場合: HHTT, THTT, HTHT (3通り)
* Hが3回の場合: HHHTT, THHHT, HTHHT, HHTHT (4通り)
ただし、表が３回出た時点で終了するので、上記の場合で、表が3回出た時点で終わるものを考慮する。
HHTT: 表2回、裏2回なので問題ない
THTT: 表1回、裏2回なので問題ない
HTHT: 表2回、裏2回なので問題ない
HHHTT: 表3回、裏2回、表が3回出たら終了のはず。しかしTで終わっているので、HHHTTの最後のTの直前でHが3回出ている必要があるので、HHTで表が3回となり終了しているので、HHHTTはありえない。よってHHHTTを除外する。
THHHT: 同様、表3回で終了のはず。THHHの最後から2番目のHで3回となるのでありえない。よってTHHHTを除外する。
HTHHT: 同様、表3回で終了のはず。HTHHの最後から2番目のHで3回となるのでありえない。よってHTHHTを除外する。
HHTHT: 同様、表3回で終了のはず。HHTHの最後から2番目のHで3回となるのでありえない。よってHHTHTを除外する。
したがって、最後にTが出る場合は、1 + 2 + 3 = 6通り。
合計すると、1 + 3 + 6 + 6 = 10 + 6 = 16 - 4 = 12通り。
すべてのパターンを書き出してみる。
HHH
HHTH, HTHH, THHH
HTTHH, THTHH, TTHHH, HTHHT, THHHT, HTHTH
TT
HTT, THT
HHTT, THTT, HTHT
* Hが3回になるか
* Tが2回になるか
で終わるので、
1. HHH
2. TTH
3. HTTH, THTH, TTHH
4. HHTH, HTHH, THHH
5. HTHTH, THHTH, HTTHH, THTHH, TTHHH, HHTTH, HTHHT, THHHT
3 + 3 + 4 = 10通り。
HTTH, THTH, TTHH
HHTH, HTHH, THHH
HTHTH, THHTH, HTTHH, THTHH, TTHHH, HHTTH, HTHHT, THHHT
表３回または裏２回で終了なので、
Hが２回以下、Tが１回以下の状態が３回以上続かない
HHH (1通り)
TTH (1通り)
HHTH, HTHH, THHH (3通り)
THTH, HTHT (2通り)
HTTH, TTHH (2通り)
HHHTH
合計は1+1+3+2+2 = 9通り
最後にHで終わる場合
表が3回、裏が2回で終了。
HHH: 1通り
HHTH, HTHH, THHH: 3通り
HTTHH, THTHH, TTHHH, HTHHT, THHHT, HTHTH:
最後にTで終わる場合
TT：1通り
HTT, THT：2通り
HHTT, THTT, HTHT：3通り
合計は 10通り
3. 最終的な答え
イ：10
ウ：