7人を部屋に分ける問題、4人を部屋に分ける問題、大人4人と子供3人の計7人を部屋に分ける問題について、指定された条件を満たす分け方の総数を求める。 (1) 7人を2つの部屋A, Bに分ける。 (i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となる分け方の総数を求める。 (ii) どの部屋も1人以上になる分け方の総数を求める。また、そのうち部屋Aの人数が奇数である分け方の総数を求める。 (2) 4人を3つの部屋A, B, Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方の総数を求める。 (3) 大人4人、子供3人の計7人を3つの部屋A, B, Cに分ける。 (i) どの部屋も大人が1人以上になる分け方の総数を求める。また、そのうち3つの部屋に子供3人が1人ずつ入る分け方の総数を求める。 (ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ各部屋とも2人以上になる分け方の総数を求める。

1. 問題の内容

7人を部屋に分ける問題、4人を部屋に分ける問題、大人4人と子供3人の計7人を部屋に分ける問題について、指定された条件を満たす分け方の総数を求める。

(1) 7人を2つの部屋A, Bに分ける。

(i) 部屋Aに3人、部屋Bに4人となる分け方の総数を求める。

(ii) どの部屋も1人以上になる分け方の総数を求める。また、そのうち部屋Aの人数が奇数である分け方の総数を求める。

(2) 4人を3つの部屋A, B, Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方の総数を求める。

(3) 大人4人、子供3人の計7人を3つの部屋A, B, Cに分ける。

(i) どの部屋も大人が1人以上になる分け方の総数を求める。また、そのうち3つの部屋に子供3人が1人ずつ入る分け方の総数を求める。

(ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ各部屋とも2人以上になる分け方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 7人から3人を選んで部屋Aに入れる方法は ${}_7C_3$通りである。残りの4人は自動的に部屋Bに入る。

${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(ii) 7人を2つの部屋に分ける方法は、各人がA, Bどちらの部屋に入るかを選ぶので、$2^7 = 128$通りある。しかし、すべての人がAに入る場合とすべての人がBに入る場合は、どの部屋も1人以上という条件に反するので、これら2つの場合を除く。したがって、$128 - 2 = 126$通り。

部屋Aの人数が奇数である条件を満たすには、部屋Aに1人、3人、5人、7人が入る場合を考えればよい。

部屋Aに1人入る場合：${}_7C_1 = 7$通り

部屋Aに3人入る場合：${}_7C_3 = 35$通り

部屋Aに5人入る場合：${}_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り

部屋Aに7人入る場合：${}_7C_7 = 1$通り

合計：$7 + 35 + 21 + 1 = 64$通り

(2)

4人を3つの部屋に入れる。どの部屋も1人以上という条件を満たす必要がある。

分け方としては (2, 1, 1) しかない。

4人から2人を選び、残り2人から1人を選び、最後に残りの1人を選ぶ。

${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 6 \times 2 \times 1 = 12$

しかし、(1, 1) の組み合わせについては部屋の区別はないので 2! で割る必要がある。

さらに、部屋A, B, Cへの割り当てを考慮して3!通りを掛ける。

${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 \div 2! \times 3 = 6 \times 2 = 12$

$(4! / (2!1!1!)) / 2 \times 3 = 12 \times 3 = 36$

割り振り方は (2,1,1) なので、${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 6 \times 2 \times 1 = 12$通り。

部屋の区別をなくすためには、1,1,2を並べ替える3通りがあるので、重複を考慮して12通り。

部屋A, B, Cへの割り当ても考慮すると、$12 \times 3 = 36$

最後に、部屋が区別できるので、(2,1,1)の並べ方が3通りあるから、$6 \times 3 = 12 / 2! \times 3! = 36$

${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 6 \times 2 \times 1 = 12$通り。部屋の並び順を考慮すると、12通り。

(3)

(i) 大人が各部屋に1人以上入る必要がある。大人の分け方は (2,1,1)または(1,1,2)または(1,2,1)。

大人を部屋に割り振る方法を考える。

(2,1,1) の場合、${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 6 \times 2 \times 1 = 12$通り。

並び替えを考えると、$12 \times 3 = 36$通り。

残りの子供3人は自由に割り振ることができるので、$3^3 = 27$通り。

したがって、$36 \times 27 = 972$通り。

しかし、子供がいない部屋ができる可能性もある。

各部屋に大人が1人以上いる分け方は

(2,1,1): 6 * 2 * 1 / 2 = 6通り

3つの並び方は3通り

大人の分け方 18通り

子供の分け方は3^3 = 27通り

18*27 = 54 + 360 = 486

大人の分け方: {2,1,1} => 4C2 * 2C1 * 1C1 * 3 = 6 * 2 * 1 * 3 = 36通り

子供の分け方

3人が３部屋にそれぞれ1人づつ入る => 3! = 6通り

すべての部屋に子供が入っているわけではない.

大人を割り振った後に子供を割り振る.

どの部屋にも大人が1人以上いる場合

部屋の構成人数は (5,1,1) (4,2,1) (3,2,2)

大人4人を3部屋に分ける。少なくとも大人が1人ずつ部屋にいる。

大人の分け方 = 4C2 * 2C1 * 1C1 / 2! * 3 = 6 * 2 * 1 * 3 = 36通り

子供を分ける場合

3C1 * 2C1 * 1C1 = 3! = 6通り

大人と子供の区別がなくなるから、子供を入れることができる部屋は2つ =>　36 * 6 = コサシ 通り

(ii) どの部屋も大人が1人以上で、かつ各部屋とも2人以上になる分け方は、(2,2,3)のパターンのみ。大人の分け方は ${}_4C_2 = 6$通り。2人を部屋A、2人を部屋Bに入れると残りの部屋Cには子供3人が入る。大人２人を割り当てた部屋に子供を割り当てる。$6 \times 1 \times 1= 6$通り。

3. 最終的な答え

(1)

(i) アイ: 35

(ii) ウエオ: 126, カキ: 64

(2)

クケ: 6

(3)

(i) コサシ: 36, スセソ: 6

(ii) タチツ: 0