この問題は、7世帯における運転免許保持者の数（X）と車の数（Y）のデータが与えられています。 (a) 散布図を作成して、データに顕著な曲線関係がないことを確認します。 (b) 最小二乗法を用いて回帰直線の式を求めます。相関係数 $r$ 、$SS_y$、$SS_x$ を計算する必要があります。 (c) 標準誤差 $s_{y/x}$ を求めます（$n=7$）。 (d) 運転免許保持者が2人と5人の新しい家族について、車の数を予測します。

以下に、与えられた問題に対する解答を示します。

1. 問題の内容

この問題は、7世帯における運転免許保持者の数（X）と車の数（Y）のデータが与えられています。

(a) 散布図を作成して、データに顕著な曲線関係がないことを確認します。

(b) 最小二乗法を用いて回帰直線の式を求めます。相関係数 $r$ 、$SS_y$、$SS_x$ を計算する必要があります。

(c) 標準誤差 $s_{y/x}$ を求めます（$n=7$）。

(d) 運転免許保持者が2人と5人の新しい家族について、車の数を予測します。

2. 解き方の手順

まず、必要な値を計算します。

$\sum X = 5+5+2+2+3+1+2 = 20$

$\sum Y = 4+3+2+2+2+1+2 = 16$

$\sum XY = 20+15+4+4+6+1+4 = 54$

$\sum X^2 = 25+25+4+4+9+1+4 = 72$

$\sum Y^2 = 16+9+4+4+4+1+4 = 42$

(b) 最小二乗法による回帰直線の式を求める。

まず、$SS_x$, $SS_y$, $SS_{xy}$ を計算します。

$SS_x = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 72 - \frac{20^2}{7} = 72 - \frac{400}{7} = \frac{504 - 400}{7} = \frac{104}{7} \approx 14.857$

$SS_y = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 42 - \frac{16^2}{7} = 42 - \frac{256}{7} = \frac{294 - 256}{7} = \frac{38}{7} \approx 5.429$

$SS_{xy} = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 54 - \frac{20 \cdot 16}{7} = 54 - \frac{320}{7} = \frac{378 - 320}{7} = \frac{58}{7} \approx 8.286$

回帰直線の傾き $b$ は次の式で計算できます。

$b = \frac{SS_{xy}}{SS_x} = \frac{58/7}{104/7} = \frac{58}{104} = \frac{29}{52} \approx 0.558$

回帰直線の切片 $a$ は次の式で計算できます。

$a = \bar{Y} - b\bar{X} = \frac{\sum Y}{n} - b \frac{\sum X}{n} = \frac{16}{7} - \frac{29}{52} \cdot \frac{20}{7} = \frac{16}{7} - \frac{580}{364} = \frac{16}{7} - \frac{145}{91} = \frac{208 - 145}{91} = \frac{63}{91} = \frac{9}{13} \approx 0.692$

したがって、回帰直線の式は次のようになります。

$Y = a + bX = 0.692 + 0.558X$

(c) 標準誤差 $s_{y/x}$ を求めます。

$s_{y/x} = \sqrt{\frac{SS_y - \frac{SS_{xy}^2}{SS_x}}{n-2}} = \sqrt{\frac{38/7 - \frac{(58/7)^2}{104/7}}{7-2}} = \sqrt{\frac{38/7 - \frac{58^2}{7 \cdot 104}}{5}} = \sqrt{\frac{38/7 - \frac{3364}{728}}{5}} = \sqrt{\frac{38/7 - 4.621}{5}} = \sqrt{\frac{5.429 - 4.621}{5}} = \sqrt{\frac{0.808}{5}} = \sqrt{0.1616} \approx 0.402$

(d) 車の数を予測します。

$X = 2$ のとき、$Y = 0.692 + 0.558 \cdot 2 = 0.692 + 1.116 = 1.808 \approx 1.81$

$X = 5$ のとき、$Y = 0.692 + 0.558 \cdot 5 = 0.692 + 2.79 = 3.482 \approx 3.48$

3. 最終的な答え

(a) 散布図の作成は省略します。散布図を描くことで、データに顕著な曲線関係がないことを確認できます。

(b) 最小二乗法による回帰直線の式：

$Y = 0.692 + 0.558X$

(c) 標準誤差：

$s_{y/x} \approx 0.402$

(d) 車の数の予測：

運転免許保持者2人の場合、車の数は約1.81台と予測されます。

運転免許保持者5人の場合、車の数は約3.48台と予測されます。