10本のくじの中に当たりくじが2本ある。このくじから同時に5本引くとき、当たりくじの本数 $X$ が0, 1, 2となる確率、確率変数 $X$ の期待値、分散、標準偏差をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが2本ある。このくじから同時に5本引くとき、当たりくじの本数 $X$ が0, 1, 2となる確率、確率変数 $X$ の期待値、分散、標準偏差をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) $X=0$ のとき、5本とも外れくじを引く確率を求める。

外れくじは8本なので、確率は

$P(X=0) = \frac{{}_8C_5}{{}_{10}C_5} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$

(イ) $X=1$ のとき、当たりくじを1本、外れくじを4本引く確率を求める。

確率は

$P(X=1) = \frac{{}_2C_1 \times {}_8C_4}{{}_{10}C_5} = \frac{2 \times 70}{252} = \frac{140}{252} = \frac{5}{9}$

(ウ) $X=2$ のとき、当たりくじを2本、外れくじを3本引く確率を求める。

確率は

$P(X=2) = \frac{{}_2C_2 \times {}_8C_3}{{}_{10}C_5} = \frac{1 \times 56}{252} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$

(エ) 期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$E(X) = 0 \times \frac{2}{9} + 1 \times \frac{5}{9} + 2 \times \frac{2}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

(オ) 分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2)$

$E(X^2) = 0 \times \frac{2}{9} + 1 \times \frac{5}{9} + 4 \times \frac{2}{9} = \frac{5}{9} + \frac{8}{9} = \frac{13}{9}$

$V(X) = \frac{13}{9} - 1^2 = \frac{13}{9} - 1 = \frac{13}{9} - \frac{9}{9} = \frac{4}{9}$

(カ) 標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

ア: 2/9

イ: 5/9

ウ: 2/9

エ: 1

オ: 4/9

カ: 2/3